Задача №20275

Постройте график функции

$y=\frac{(0,75x^2-1,5x)\cdot |x|}{x-2}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

1. Упрощаем формулу. В числителе вынесем общий множитель:

$$0,75x^2-1,5x=0,75x(x-2).$$

Тогда при $x\ne 2$

$$y=\frac{0,75x(x-2)\cdot |x|}{x-2}=0,75x|x|.$$

2. Раскрываем модуль. Получаем кусочно-заданную функцию:

$$y=\{\begin{array}{ll}0,75x^2,& x\ge 0,x\ne 2,\\ -0,75x^2,& x<0.\end{array}$$

При $x\ge 0$ — правая ветвь параболы $y=0,75x^2$ (ветви вверх), при $x<0$ — часть параболы $y=-0,75x^2$ (ветви вниз). График проходит через начало координат $(0;0)$ и симметричен относительно точки $O$ (нечётная функция).

3. Выколотая точка. Точка $x=2$ исключена из области определения. При $x=2$ было бы $y=0,75\cdot 2\cdot 2=3\text{,}$ поэтому точка $(2;3)$ на графике выколота.

4. Пересечение с прямой $y=m\text{.}$

• Левая ветвь ($x<0$) принимает все значения $y<0\text{.}$
• Правая ветвь ($x\ge 0$) принимает все значения $y\ge 0\text{,}$ но значение $y=3$ достигалось бы только при $x=2$ ($0,75x^2=3\Rightarrow x=2$), а эта точка выколота.

Значит график покрывает все значения $y\text{,}$ кроме $y=3\text{.}$ Прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек только при $m=3\text{.}$

Ответ: $m=3\text{.}$