Задача №20269

Постройте график функции

$y=\frac{6x+7}{6x^2+7x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упрощение функции. Разложим знаменатель на множители:

$$6x^2+7x=x(6x+7).$$

Тогда

$$y=\frac{6x+7}{x(6x+7)}=\frac{1}{x}.$$

Сокращение возможно только при условии, что сокращаемый множитель не равен нулю, а также знаменатель исходной дроби не равен нулю. Значит, область определения задаётся условиями

$$x\ne 0,6x+7\ne 0\Rightarrow x\ne -\frac{7}{6}.$$

График. Графиком служит гипербола $y=\frac{1}{x}\text{,}$ из которой выколота точка с абсциссой $x=-\frac{7}{6}\text{.}$ Её ордината равна $y=\frac{1}{-7/6}=-\frac{6}{7}\text{,}$ то есть выколота точка $\left(-\frac{7}{6};-\frac{6}{7}\right)$ (точка $x=0$ и так не входит в гиперболу).

Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$ Прямая проходит через начало координат. Приравняем:

$$kx=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1.$$

• При $k\le 0$ уравнение $k{x}^2=1$ не имеет решений ($x^2=\frac{1}{k}\le 0$ или $k=0$ даёт $0=1$) — общих точек нет.
• При $k>0$ получаем $x^2=\frac{1}{k}\text{,}$ то есть два корня $x=\pm \frac{1}{\sqrt{k}}$ — вообще говоря, две общие точки.

Ровно одна общая точка возможна только тогда, когда один из этих двух корней попадает в выколотую точку $x=-\frac{7}{6}$ (тогда он не считается, остаётся ровно один). Подставим $x=-\frac{7}{6}$ в $k{x}^2=1\text{:}$

$$k\cdot {\left(\frac{7}{6}\right)}^2=1\Rightarrow k\cdot \frac{49}{36}=1\Rightarrow k=\frac{36}{49}.$$

Проверка: при $k=\frac{36}{49}$ корни $x=\pm \frac{1}{\sqrt{k}}=\pm \frac{7}{6}\text{.}$ Точка $x=-\frac{7}{6}$ выколота, остаётся единственная общая точка $x=\frac{7}{6}\text{.}$ При этом прямая $y=kx$ как раз проходит через выколотую точку: $k\cdot \left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{36}{49}\cdot \left(-\frac{7}{6}\right)=-\frac{6}{7}\text{.}$

При любом другом $k>0$ оба корня $\pm \frac{1}{\sqrt{k}}$ отличны от $-\frac{7}{6}$ и дают две общие точки.

Ответ: $k=\frac{36}{49}\text{.}$