Задача №20012

Постройте график функции

$y=\frac{7x-10}{7x^2-10x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упростим функцию и найдём область определения.

Разложим знаменатель на множители:

$$7x^2-10x=x(7x-10).$$

Тогда при $x\ne 0$ и $7x-10\ne 0\text{:}$

$$y=\frac{7x-10}{x(7x-10)}=\frac{1}{x}.$$

Область определения: $x\ne 0$ и $x\ne \frac{10}{7}\text{.}$

2. Опишем график.

График совпадает с гиперболой $y=\frac{1}{x}\text{,}$ но из неё выколота точка с абсциссой $x=\frac{10}{7}\text{.}$ Её ордината:

$$y=\frac{1}{10/7}=\frac{7}{10}=0,7.$$

Итак, график — гипербола $y=\frac{1}{x}$ без точки $\left(\frac{10}{7};\frac{7}{10}\right)\text{.}$

3. Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$

Прямая $y=kx$ проходит через начало координат. Приравняем:

$$kx=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}.$$

• При $k\le 0$ уравнение $x^2=\frac{1}{k}$ действительных корней не имеет (при $k=0$ прямая $y=0$ гиперболу не пересекает) — общих точек нет.
• При $k>0$ получаем два корня $x=\pm \frac{1}{\sqrt{k}}\text{,}$ то есть в общем случае две общие точки, симметричные относительно начала координат.

4. Условие ровно одной общей точки.

Две точки пересечения с гиперболой превращаются в одну общую точку с графиком лишь тогда, когда одна из них попадает в выколотую точку $\left(\frac{10}{7};\frac{7}{10}\right)\text{.}$ Прямая $y=kx$ проходит через неё при

$$k=\frac{7/10}{10/7}=\frac{7}{10}\cdot \frac{7}{10}=\frac{49}{100}=0,49.$$

Проверка: при $k=0,49$ имеем $x^2=\frac{1}{0,49}=\frac{100}{49}\text{,}$ откуда $x=\pm \frac{10}{7}\text{.}$ Точка $x=\frac{10}{7}$ выколота, остаётся единственная общая точка $\left(-\frac{10}{7};-\frac{7}{10}\right)\text{.}$

Ответ: $k=0,49\text{.}$