Задача №20074

Постройте график функции

$y=\frac{3x+5}{3x^2+5x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упрощаем формулу функции.

Разложим знаменатель на множители:

$$3x^2+5x=x(3x+5).$$

Тогда

$$y=\frac{3x+5}{x(3x+5)}=\frac{1}{x}.$$

Сокращение возможно только при $3x+5\ne 0$ и $x\ne 0\text{,}$ поэтому область определения исключает две точки: $x=0$ и $x=-\frac{5}{3}\text{.}$

2. Строим график.

График совпадает с гиперболой $y=\frac{1}{x}\text{,}$ но из неё выколота точка с абсциссой $x=-\frac{5}{3}\text{.}$ Её ордината:

$$y=\frac{1}{-\frac{5}{3}}=-\frac{3}{5}.$$

Итак, график — это гипербола $y=\frac{1}{x}$ с выколотой точкой $\left(-\frac{5}{3};-\frac{3}{5}\right)$ (точка $x=0$ и так не принадлежит гиперболе).

3. Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$

Прямая $y=kx$ проходит через начало координат. Приравняем:

$$kx=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}.$$

• При $k\le 0$ уравнение решений не имеет — общих точек нет.
• При $k>0$ получаем $x=\pm \frac{1}{\sqrt{k}}$ — две точки гиперболы, симметричные относительно начала координат.

Значит, у прямой и гиперболы $y=\frac{1}{x}$ при $k>0$ всегда две общие точки. Ровно одна общая точка с нашим графиком получится, только если одна из этих двух точек попадёт в выколотую точку $x=-\frac{5}{3}$ (тогда она не считается).

4. Находим $k\text{.}$

Отрицательный корень совпадает с выколотой абсциссой:

$$-\frac{1}{\sqrt{k}}=-\frac{5}{3}\Rightarrow \sqrt{k}=\frac{3}{5}\Rightarrow k=\frac{9}{25}=0,36.$$

При этом $k$ вторая точка пересечения $x=+\frac{5}{3}$ остаётся на графике, а точка $x=-\frac{5}{3}$ выколота — значит, общая точка ровно одна.

То же значение даёт прямая, проходящая через выколотую точку: $k=\frac{-3/5}{-5/3}=\frac{9}{25}\text{.}$

Ответ: $k=\frac{9}{25}=0,36\text{.}$