Задача №20098

Постройте график функции

$y=\frac{2x+5}{2x^2+5x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упрощаем функцию. Разложим знаменатель на множители:

$$2x^2+5x=x(2x+5).$$

Тогда при $2x+5\ne 0$ дробь сокращается:

$$y=\frac{2x+5}{x(2x+5)}=\frac{1}{x}.$$

2. Область определения. Знаменатель исходной дроби не равен нулю: $x\ne 0$ и $2x+5\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne -2,5\text{.}$ Значит, графиком служит гипербола $y=\frac{1}{x}$ с выколотой точкой при $x=-2,5\text{.}$ Её ордината $y=\frac{1}{-2,5}=-0,4\text{,}$ то есть выколота точка $(-2,5;-0,4)\text{.}$

3. Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$ Прямая проходит через начало координат. Приравняем:

$$kx=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1(x\ne 0).$$

• При $k\le 0$ уравнение $k{x}^2=1$ решений не имеет — общих точек нет.
• При $k>0\text{:}$ $x^2=\frac{1}{k}\text{,}$ то есть $x=\pm \frac{1}{\sqrt{k}}$ — две общие точки с гиперболой.

4. Условие «ровно одна общая точка». Две точки пересечения превращаются в одну, только если одна из них попадает в выколотую точку $x=-2,5\text{.}$ Так как $x=-2,5<0\text{,}$ берём $x=-\frac{1}{\sqrt{k}}=-2,5\text{:}$

$$\frac{1}{\sqrt{k}}=2,5\Rightarrow \sqrt{k}=0,4\Rightarrow k=0,16.$$

То же значение даёт наклон прямой через выколотую точку: $k=\frac{-0,4}{-2,5}=0,16\text{.}$

Проверка. При $k=0,16$ решения $x=\pm 2,5\text{.}$ Точка $x=-2,5$ выколота, остаётся единственная общая точка при $x=2,5\text{.}$ Значит прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: $k=0,16\text{.}$