Задача №20060

Точка $H$ является основанием высоты $BH\text{,}$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH\text{,}$ если $PK=12\text{.}$

Ключевая идея: точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH\text{,}$ значит углы $\angle BPH$ и $\angle BKH$ опираются на диаметр и потому прямые.

1. Так как $BH$ — диаметр, вписанный угол $\angle BPH=90^{\circ }\text{.}$ Точка $P$ лежит на стороне $AB\text{,}$ поэтому $HP\perp AB\text{.}$
2. Аналогично $\angle BKH=90^{\circ }\text{,}$ и так как $K$ лежит на стороне $CB\text{,}$ то $HK\perp CB\text{.}$
3. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH\text{.}$ Его углы:

• $\angle PBK=\angle ABC=90^{\circ }$ (прямой угол треугольника $ABC$);
• $\angle BPH=90^{\circ }$ (из п. 1);
• $\angle BKH=90^{\circ }$ (из п. 2).

Сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{,}$ значит и четвёртый угол $\angle PHK=90^{\circ }\text{.}$ Все четыре угла прямые — $PBKH$ является прямоугольником.
4. В прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями $PBKH$ служат отрезки $BH$ и $PK\text{,}$ поэтому

Проверка. Разместим $B=(0;0)\text{,}$ катеты по осям: $A=(p;0)\text{,}$ $C=(0;q)\text{.}$ Точка $H$ — основание высоты из $B$ на гипотенузу $AC\text{.}$ Тогда $P$ — проекция $H$ на $AB$ (ось $x$), то есть $P=(H_x;0)\text{,}$ а $K$ — проекция $H$ на $CB$ (ось $y$), то есть $K=(0;H_y)\text{.}$ Отсюда $PK=\sqrt{H_x^2+H_y^2}=|BH|$ при любых $p,q$ — что подтверждает равенство $PK=BH\text{.}$

Ответ: $BH=12\text{.}$