Задача №20055

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб, а $O$ — точка пересечения его диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $O$ равноудалена от всех сторон ромба, то есть является центром вписанной окружности. Значит, расстояние от $O$ до стороны равно радиусу вписанной окружности: $r=17\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB\text{,}$ где $O$ — точка пересечения диагоналей: угол $AOB=90^{\circ }\text{,}$ катеты $OA$ и $OB$ — половины диагоналей, гипотенуза $AB$ — сторона ромба.

Пусть данная диагональ, равная $68\text{,}$ — это $AC\text{.}$ Тогда $OA=\frac{68}{2}=34\text{.}$

Опустим из $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB\text{;}$ его длина равна $r=17\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AOH$ ($\angle AHO=90^{\circ }$):

Отсюда

Диагональ ромба является биссектрисой его угла, поэтому угол при вершине $A$ равен

Соседний угол ромба (сумма односторонних углов равна $180^{\circ }$):

Проверка. $OB=OA\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{34}{\sqrt{3}}\text{,}$ сторона $AB=\frac{OA}{\cos 30^{\circ }}=\frac{68}{\sqrt{3}}\text{.}$ Тогда расстояние от $O$ до стороны $r=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{34\cdot \frac{34}{\sqrt{3}}}{\frac{68}{\sqrt{3}}}=\frac{34\cdot 34}{68}=17$ — совпадает с условием.

Ответ: углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$