Задача №20262

Постройте график функции

$y=1-\frac{x+5}{x^2+5x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.

1. Упростим выражение. Найдём область определения: знаменатель $x^2+5x=x(x+5)\ne 0\text{,}$ значит $x\ne 0$ и $x\ne -5\text{.}$

При этих ограничениях

$$\frac{x+5}{x^2+5x}=\frac{x+5}{x(x+5)}=\frac{1}{x},$$

поэтому

$$y=1-\frac{1}{x},x\ne 0,x\ne -5.$$

2. График. Это гипербола $y=1-\frac{1}{x}$ (сдвиг гиперболы $y=-\frac{1}{x}$ на $1$ вверх) с горизонтальной асимптотой $y=1$ и вертикальной асимптотой $x=0\text{.}$ Из области определения выколота точка при $x=-5\text{:}$

$$y(-5)=1-\frac{1}{-5}=1+\frac{1}{5}=1,2.$$

Значит на графике есть выколотая точка $(-5;1,2)\text{.}$

3. При каких $m$ прямая $y=m$ не пересекает график. Решим $1-\frac{1}{x}=m\text{:}$ $\frac{1}{x}=1-m\text{,}$ откуда $x=\frac{1}{1-m}\text{.}$

• Если $m=1\text{,}$ уравнение $\frac{1}{x}=0$ решений не имеет — прямая $y=1$ (горизонтальная асимптота) общих точек с графиком не имеет.
• Если $m\ne 1\text{,}$ то $x=\frac{1}{1-m}\text{.}$ Этот $x$ попадает в выколотую точку при $x=-5\text{,}$ то есть при $m=1,2$ — соответствующей точки на графике нет.

При всех остальных $m$ прямая пересекает график ровно в одной точке.

Ответ: прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=1$ и $m=1,2\text{.}$