Задача №19986

Постройте график функции

$$y=\frac{x-3}{x^2-3x}.$$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упрощение функции. Разложим знаменатель: $x^2-3x=x(x-3)\text{.}$ Тогда

$$y=\frac{x-3}{x(x-3)}=\frac{1}{x}.$$

Сокращение возможно при $x-3\ne 0\text{,}$ а сама дробь определена при $x\ne 0\text{.}$ Значит область определения: $x\ne 0$ и $x\ne 3\text{.}$

График. Это гипербола $y=\frac{1}{x}\text{,}$ из которой выколота точка с $x=3\text{,}$ то есть точка $\left(3;\frac{1}{3}\right)$ (при $x=3\text{:}$ $y=\frac{1}{3}$).

Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$ Прямая проходит через начало координат. Приравниваем:

$$kx=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}.$$

• При $k\le 0$ уравнение решений не имеет — общих точек нет.
• При $k>0$ получаем $x=\pm \frac{1}{\sqrt{k}}$ — две точки пересечения с гиперболой $y=\frac{1}{x}\text{.}$

Учёт выколотой точки. У нашего графика точка $x=3$ отсутствует. Ровно одна общая точка получится тогда, когда одно из двух пересечений попадает именно в выколотую точку и потому исчезает. Положительный корень равен $3\text{:}$

$$\frac{1}{\sqrt{k}}=3\Rightarrow \sqrt{k}=\frac{1}{3}\Rightarrow k=\frac{1}{9}.$$

Отрицательный корень $-\frac{1}{\sqrt{k}}$ равен $3$ быть не может (он отрицателен), поэтому других значений нет.

Проверка. При $k=\frac{1}{9}\text{:}$ $x^2=9\text{,}$ $x=\pm 3\text{.}$ Точка $x=3$ выколота, остаётся единственная точка $\left(-3;-\frac{1}{3}\right)\text{.}$ Прямая $y=\frac{1}{9}x$ при этом проходит через саму «дырку» $\left(3;\frac{1}{3}\right)$ ($\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\cdot 3$), поэтому там общей точки с графиком нет. Итог — ровно одна общая точка.

Ответ: $k=\frac{1}{9}\text{.}$