Задача №20241

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B\text{.}$ Найдите диаметр окружности, если $AB=2\text{,}$ $AC=8\text{.}$

Пусть $O$ — центр окружности, он лежит на стороне $AC\text{.}$ Обозначим радиус $R\text{.}$

Шаг 1. Радиус в точку касания. Прямая $AB$ касается окружности в точке $B\text{,}$ значит радиус $OB$ перпендикулярен касательной: $OB\perp AB\text{.}$ Тогда треугольник $ABO$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B\text{,}$ и по теореме Пифагора

Шаг 2. Центр на стороне $AC\text{.}$ Точка $C$ лежит на окружности, поэтому $OC=R\text{.}$ Так как $O$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ то

Шаг 3. Уравнение на $R\text{.}$ Подставим $AO=8-R$ в равенство из шага 1:

Раскроем: $64-16R+R^2=4+R^2\text{,}$ откуда $64-16R=4\text{,}$ значит $16R=60$ и $R=3,75\text{.}$

Проверка. Тогда $AO=8-3,75=4,25\text{,}$ и $A{O}^2=18,0625=4+3,75^2=4+14,0625$ — верно.

Диаметр окружности равен $d=2R=7,5\text{.}$

Ответ: $7,5\text{.}$