Задача №20254

Углы при одном из оснований трапеции равны $86^{\circ }$ и $4^{\circ }\text{,}$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 4 и 1. Найдите основания трапеции.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $BC=b$ и $AD=a$ ($BC\parallel AD$), а углы при основании $AD$ равны $\angle A=86^{\circ }$ и $\angle D=4^{\circ }\text{.}$

Два отрезка между серединами противоположных сторон.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — это средняя линия трапеции: $m=\frac{a+b}{2}\text{.}$
• Отрезок, соединяющий середины оснований, обозначим $MN\text{,}$ где $M$ — середина $BC\text{,}$ $N$ — середина $AD\text{.}$

Ключевое наблюдение. Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$ угол при вершине $P$ равен

то есть треугольник $APD$ прямоугольный с прямым углом при $P\text{.}$

Тогда $PN$ — медиана к гипотенузе $AD\text{,}$ поэтому $PN=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}\text{.}$

Треугольник $BPC$ подобен треугольнику $APD$ (так как $BC\parallel AD$) и тоже прямоугольный при $P\text{;}$ $PM$ — медиана к его гипотенузе $BC\text{,}$ поэтому $PM=\frac{BC}{2}=\frac{b}{2}\text{.}$

Точки $P\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ лежат на одной прямой (медианы к параллельным гипотенузам подобных треугольников с общей вершиной $P$), причём $M$ между $P$ и $N\text{.}$ Значит,

Составим систему. Средняя линия $\frac{a+b}{2}$ всегда больше $\frac{a-b}{2}\text{,}$ поэтому большему из данных отрезков соответствует средняя линия:

Отсюда $a+b=8\text{,}$ $a-b=2\text{,}$ следовательно $a=5\text{,}$ $b=3\text{.}$

Проверка. Средняя линия $\frac{5+3}{2}=4\text{,}$ отрезок между серединами оснований $\frac{5-3}{2}=1$ — совпадает с условием.

Ответ: основания трапеции равны $3$ и $5\text{.}$