Задача №20251

Постройте график функции

$y=x|x|-|x|-2x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскроем модули. Функция $y=x|x|-|x|-2x$ определена на всей прямой; раскроем $|x|$ по знаку $x\text{.}$

При $x\ge 0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot x-x-2x=x^2-3x.$$

Это ветвь параболы, ветви вверх, с вершиной в $x=\frac{3}{2}\text{,}$ $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-3\cdot \frac{3}{2}=-\frac{9}{4}\text{.}$ Проходит через $(0;0)$ и $(3;0)\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot (-x)-(-x)-2x=-x^2+x-2x=-x^2-x.$$

Это ветвь параболы, ветви вниз, с вершиной в $x=-\frac{1}{2}\text{,}$ $y=-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\text{.}$ Проходит через $(-1;0)\text{;}$ при $x\to 0^{-}$ имеем $y\to 0\text{.}$

В точке $x=0$ обе ветви дают $y=0$ — график непрерывен.

2. Построение графика. Итог — кусочная кривая из двух параболических дуг:

• левая дуга ($x<0$): поднимается из $-\infty$ до максимума $\frac{1}{4}$ в точке $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)\text{,}$ затем опускается к $0$ при $x\to 0^{-}\text{;}$ проходит через $(-1;0)\text{;}$
• правая дуга ($x\ge 0$): опускается из $(0;0)$ до минимума $-\frac{9}{4}$ в точке $\left(\frac{3}{2};-\frac{9}{4}\right)\text{,}$ затем поднимается к $+\infty \text{;}$ проходит через $(3;0)\text{.}$

3. Число точек пересечения с прямой $y=m\text{.}$ Подсчитаем пересечения по каждой дуге.

Левая дуга (значения принимает от $-\infty$ до максимума $\frac{1}{4}$):

• $m>\frac{1}{4}$ — $0$ точек; $m=\frac{1}{4}$ — $1$ (вершина); $0<m<\frac{1}{4}$ — $2\text{;}$ $m=0$ — $1$ (точка $x=-1\text{;}$ предел при $x\to 0^{-}$ относится к правой дуге); $m<0$ — $1\text{.}$

Правая дуга (минимум $-\frac{9}{4}$):

• $m<-\frac{9}{4}$ — $0$ точек; $m=-\frac{9}{4}$ — $1$ (вершина); $-\frac{9}{4}<m<0$ — $2\text{;}$ $m=0$ — $2$ (точки $x=0$ и $x=3$); $m>0$ — $1\text{.}$

Сложим:

4. Вывод. Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет с графиком в двух случаях: касание вершины левой дуги при $m=\frac{1}{4}$ и касание вершины правой дуги при $m=-\frac{9}{4}\text{.}$

Ответ: $m=-\frac{9}{4}$ или $m=\frac{1}{4}\text{.}$