Задача №20249

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B\text{,}$ в отношении $13:12\text{,}$ считая от точки $B\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=20\text{.}$

Пусть высота, проведённая из вершины $B\text{,}$ пересекает прямую $AC$ в точке $H$ (то есть $BH\perp AC$), а биссектриса угла $A$ пересекает эту высоту в точке $P\text{.}$ По условию $BP:PH=13:12\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H$ прямой). Луч $AP$ — это биссектриса угла $A$ треугольника $ABC\text{;}$ так как точка $H$ лежит на прямой $AC\text{,}$ угол $BAH$ совпадает с углом $BAC=\angle A\text{.}$ Значит, $AP$ является биссектрисой угла $A$ в треугольнике $ABH$ и делит противоположную сторону $BH$ на отрезки $BP$ и $PH\text{.}$

По свойству биссектрисы треугольника отрезки, на которые она делит противоположную сторону, пропорциональны прилежащим сторонам:

Следовательно, $\frac{AB}{AH}=\frac{13}{12}\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ прилежит к углу $A\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза, поэтому $AH=AB\cos A\text{,}$ откуда

Тогда

По теореме синусов для треугольника $ABC$ радиус описанной окружности связан со стороной $BC\text{,}$ лежащей против угла $A\text{:}$

откуда $R=26\text{.}$

Ответ: $26\text{.}$