В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 17:15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=16.

Пусть A = 2alpha, BH — высота из вершины B на сторону AC (Hin AC), а P — точка пересечения биссектрисы угла A с высотой BH. По условию BP:PH = 17:15. Свяжем отрезки с углом alpha. В прямоугольном треугольнике ABH ( H = 90^, A = 2alpha): BH = AH*tan 2alpha. Биссектриса выходит из A под углом alpha к прямой AC, поэтому она пересекает перпендикуляр BH (восставленный в точке H) на высоте PH = AH*. Тогда BP = BH - PH = AH(tan 2alpha - ). Составим уравнение из отношения. (BP)/(PH) = (tan 2alpha - )/() = (tan 2alpha)/() - 1 = (17)/(15), откуда (tan 2alpha)/() = (32)/(15). Используя tan 2alpha = (2)/(1-tan^2alpha), получаем (tan 2alpha)/() = (2)/(1-tan^2alpha) = (32)/(15)=>1-tan^2alpha = (15)/(16)=>tan^2alpha = (1)/(16), = 14. Найдём угол A. tan A = tan 2alpha = (2*14)/(1-116) = (12)/(1516) = (8)/(15). Значит (угол A острый), sin A = (8)/(17) (треугольник со сторонами 8,15,17). Радиус описанной окружности по теореме синусов, где BC лежит против угла A: R = (BC)/(2sin A) = (16)/(2*817) = (16)/(1617) = 17. Ответ: 17.

17