Задача №18851

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B\text{,}$ в отношении $17:15\text{,}$ считая от точки $B\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=16\text{.}$

Пусть $\angle A=2\alpha \text{,}$ $BH$ — высота из вершины $B$ на сторону $AC$ ($H\in AC$), а $P$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с высотой $BH\text{.}$ По условию $BP:PH=17:15\text{.}$

Свяжем отрезки с углом $\alpha \text{.}$ В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle H=90^{\circ }\text{,}$ $\angle A=2\alpha$):

Биссектриса выходит из $A$ под углом $\alpha$ к прямой $AC\text{,}$ поэтому она пересекает перпендикуляр $BH$ (восставленный в точке $H$) на высоте

Тогда

Составим уравнение из отношения.

откуда $\frac{\tan 2\alpha }{\tan \alpha }=\frac{32}{15}\text{.}$

Используя $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }\text{,}$ получаем

Найдём угол $A\text{.}$

Значит (угол $A$ острый), $\sin A=\frac{8}{17}$ (треугольник со сторонами $8,15,17$).

Радиус описанной окружности по теореме синусов, где $BC$ лежит против угла $A\text{:}$

Ответ: $17\text{.}$