Задача №20248

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC\text{,}$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN\text{,}$ если $MN=11\text{,}$ $AC=44\text{,}$ $NC=18\text{.}$

Прямая $MN$ параллельна стороне $AC\text{,}$ поэтому она отсекает от треугольника $ABC$ подобный ему треугольник $BMN\text{.}$

Подобие. Так как $MN\parallel AC\text{,}$ то $\angle BMN=\angle BAC$ и $\angle BNM=\angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущих $AB$ и $BC\text{.}$ Значит, $△BMN\sim △BAC$ по двум углам.

Коэффициент подобия. Из подобия сходственные стороны пропорциональны:

Находим $BN\text{.}$ Пусть $BN=x\text{.}$ Точка $N$ лежит на стороне $BC\text{,}$ поэтому $BC=BN+NC=x+18\text{.}$ Тогда

Проверка. При $BN=6$ получаем $BC=6+18=24$ и отношение $\frac{BN}{BC}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}=\frac{MN}{AC}$ — совпадает с коэффициентом подобия.

Ответ: $6\text{.}$