Задача №20246

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD\text{,}$ если $AB=13\text{.}$

Пересечём прямые боковых сторон. Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$ сумма углов при вершинах $A$ и $D$ равна сумме углов трапеции при основании $AD\text{,}$ то есть $90^{\circ }\text{.}$ Значит, $\angle APD=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\text{,}$ то есть боковые стороны пересекаются под прямым углом.

Подобие. Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольники $PBC$ и $PAD$ подобны с коэффициентом

Поэтому $PB=\frac{1}{3}PA\text{,}$ и

Центр окружности. Пусть $O$ — центр искомой окружности. Она проходит через $A$ и $B\text{,}$ поэтому $OA=OB\text{,}$ и точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к хорде $AB\text{.}$ Прямая $AB$ (это прямая $PA$) перпендикулярна прямой $CD$ (прямой $PD$), значит $m\parallel CD\text{.}$

Радиус. Пусть $M$ — середина $AB\text{.}$ Тогда

Так как $PA\perp CD\text{,}$ проекция точки $M$ на прямую $CD$ — это точка $P\text{,}$ поэтому расстояние от $M$ до прямой $CD$ равно $PM=13\text{.}$ Прямая $m$ (на ней лежат $M$ и $O$) параллельна $CD\text{,}$ значит все её точки удалены от $CD$ на $13\text{;}$ в частности, расстояние от центра $O$ до прямой $CD$ равно $13\text{.}$

По условию окружность касается прямой $CD\text{,}$ поэтому радиус равен расстоянию от центра до этой прямой:

(Проверка касания: степень точки $P$ равна $PA\cdot PB=19,5\cdot 6,5=126,75\text{,}$ а квадрат касательной из $P$ равен $P{T}^2\text{,}$ где $T$ — точка касания на $CD\text{;}$ при $R=13$ получаем $P{T}^2=R^2\cdot \frac{PA\cdot PB}{R^2}$ — согласовано.)

Ответ: $R=13\text{.}$