Задача №20243

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD\text{,}$ если $AB=14\text{,}$ $CD=48\text{,}$ а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24.

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Обозначим центр $O$ и радиус $R\text{.}$

Шаг 1. Найдём радиус по хорде $AB\text{.}$

Пусть $M$ — середина хорды $AB\text{,}$ тогда $OM\perp AB$ и $OM=24\text{,}$ а $AM=\frac{AB}{2}=\frac{14}{2}=7\text{.}$

Треугольник $OMA$ прямоугольный ($\angle OMA=90^{\circ }$), поэтому по теореме Пифагора:

Шаг 2. Найдём расстояние до хорды $CD\text{.}$

Пусть $N$ — середина хорды $CD\text{,}$ тогда $ON\perp CD$ и $CN=\frac{CD}{2}=\frac{48}{2}=24\text{.}$ Радиус тот же: $OC=R=25\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $ONC$ по теореме Пифагора:

Ответ: $7\text{.}$