Задача №19846

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B\text{.}$ Найдите $AC\text{,}$ если диаметр окружности равен 3,6, а $AB=8\text{.}$

Пусть $O$ — центр окружности; по условию $O$ лежит на стороне $AC\text{.}$ Радиус равен половине диаметра:

Окружность проходит через $C\text{,}$ поэтому $OC=r=1,8\text{.}$

Окружность касается прямой $AB$ в точке $B\text{.}$ Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит $OB\perp AB$ и $OB=r=1,8\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABO$ (прямой угол при $B$) по теореме Пифагора:

Точка $O$ лежит на отрезке $AC$ между $A$ и $C\text{,}$ поэтому

Проверка (свойство касательной и секущей). Секущая из $A$ проходит через центр и пересекает окружность на расстояниях $AO-r=6,4$ и $AO+r=10$ от $A\text{.}$ Тогда $A{B}^2=6,4\cdot 10=64=8^2$ — верно.

Ответ: $AC=10\text{.}$