Задача №20238

Постройте график функции

$y=|x|\cdot (x+1)-5x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль. Функция $y=|x|\cdot (x+1)-5x$ распадается на две ветви.

При $x\ge 0\text{:}$ $y=x(x+1)-5x=x^2-4x$ — часть параболы ветвями вверх с вершиной $(2;-4)\text{,}$ проходящая через $(0;0)$ и $(4;0)\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $y=-x(x+1)-5x=-x^2-6x=-(x+3{)}^2+9$ — часть параболы ветвями вниз с вершиной $(-3;9)\text{,}$ проходящая через $(0;0)$ и $(-6;0)\text{.}$

В точке $x=0$ обе ветви дают $y=0\text{,}$ график непрерывен.

Разберём число общих точек прямой $y=m$ с графиком.

Левая ветвь ($x<0$): при $m>9$ — $0$ точек; при $m=9$ — $1$ (касание в вершине $(-3;9)$); при $0<m<9$ — $2\text{;}$ при $m\le 0$ — $1$ (только дальняя левая часть при $x<-6$).

Правая ветвь ($x\ge 0$): при $m<-4$ — $0$ точек; при $m=-4$ — $1$ (касание в вершине $(2;-4)$); при $-4<m\le 0$ — $2\text{;}$ при $m>0$ — $1$ (восходящая часть при $x>4$).

Сложим по каждому уровню $m\text{:}$

• $m>9\text{:}$ $0+1=1\text{;}$
• $m=9\text{:}$ $1+1=2\text{;}$
• $0<m<9\text{:}$ $2+1=3\text{;}$
• $-4<m\le 0\text{:}$ $1+2=3\text{;}$
• $m=-4\text{:}$ $1+1=2\text{;}$
• $m<-4\text{:}$ $1+0=1\text{.}$

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет с графиком только при $m=9$ (касание вершины левой ветви плюс одно пересечение правой) и при $m=-4$ (касание вершины правой ветви плюс одно пересечение левой).

Ответ: $m=-4$ или $m=9\text{.}$