Задача №20225

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 30, а $\tan \angle BCA=\frac{4}{3}\text{.}$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и являются биссектрисами углов.

Так как $AC=30\text{,}$ то $OC=OA=15\text{.}$ Диагональ $CA$ — биссектриса угла $C\text{,}$ поэтому $\angle BCA=\angle BCO\text{,}$ и в прямоугольном треугольнике $BOC$ (прямой угол при $O$):

$$\tan \angle BCA=\frac{BO}{OC}=\frac{4}{3}\Rightarrow BO=\frac{4}{3}\cdot 15=20.$$

Сторона ромба:

$$BC=\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25.$$

Площадь ромба через диагонали ($BD=2BO=40$):

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 40=600.$$

Окружность вписана в ромб, значит его площадь равна произведению полупериметра на радиус: $S=p\cdot r\text{,}$ где $p=\frac{4\cdot 25}{2}=50\text{.}$ Отсюда

$$r=\frac{S}{p}=\frac{600}{50}=12.$$

(Проверка: высота ромба $h=\frac{S}{BC}=\frac{600}{25}=24\text{,}$ а радиус вписанной окружности равен половине высоты: $r=\frac{h}{2}=12\text{.}$)

Ответ: 12.