Перейти к основному содержимому

Математика
ОГЭ по математике
Задачи
№18725

Задача №18725

Легко

Задача #18725

Окружность, вписанная в многоугольник•1 балл

Проверить решение?

Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка

Решай похожие задачи

Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения

Задача по теме "Окружность, вписанная в многоугольник"

Задача по теме "Окружность, вписанная в многоугольник"

Задача по теме "Окружность, вписанная в многоугольник"

Информация

ЭкзаменЕГЭ

Часть

1

Раздел

Геометрия

Тип задачи№16 Окружность, круг и их элементы

ТемаОкружность, вписанная в многоугольник

ИсточникФИПИ, открытый банк заданий ОГЭ (математика)

Откуда задача

ФИПИ

Теги

Равносторонний треугольникравносторонний треугольникмедиана и высотавписанная окружностьрадиус вписанной окружности

Равносторонний треугольник с вписанной в него окружностью

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен

83 .

Найдите длину стороны этого треугольника.

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан (они же биссектрисы и высоты).

Пусть сторона треугольника равна $a .$ Высота равностороннего треугольника равна

h = \frac{a 3}{2} .

Центр вписанной окружности делит высоту (медиану) в отношении $2 : 1$ от вершины, поэтому радиус вписанной окружности — это меньшая часть медианы:

r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a 3}{2} = \frac{a 3}{6} = \frac{a}{2 3} .

По условию $r = 83,$ значит

\frac{a 3}{6} = 83 ⟹ a = \frac{6 \cdot 8 3}{3} = 48.

Проверка. При $a = 48$ высота $h = \frac{48 3}{2} = 243,$ тогда $r = \frac{1}{3} \cdot 243 = 83$ — совпадает с условием.

Ответ: 48.