!Равносторонний треугольник с вписанной в него окружностью Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8sqrt(3). Найдите длину стороны этого треугольника.

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан (они же биссектрисы и высоты). Пусть сторона треугольника равна a. Высота равностороннего треугольника равна h = (asqrt(3))/(2). Центр вписанной окружности делит высоту (медиану) в отношении 2:1 от вершины, поэтому радиус вписанной окружности — это меньшая часть медианы: r = (1)/(3)h = (1)/(3)*(asqrt(3))/(2) = (asqrt(3))/(6) = (a)/(2sqrt(3)). По условию r = 8sqrt(3), значит (asqrt(3))/(6) = 8sqrt(3) = (6* 8sqrt(3))/(sqrt(3)) = 48. Проверка. При a = 48 высота h = (48sqrt(3))/(2) = 24sqrt(3), тогда r = (1)/(3)* 24sqrt(3) = 8sqrt(3) — совпадает с условием. Ответ: 48.

48