Задача №18837

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 12, а $\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{4}{3}\text{.}$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OC=\frac{AC}{2}=6\text{,}$ а треугольник $BOC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $O\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $BOC\text{:}$ $\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{BO}{OC}=\frac{4}{3}\text{,}$ откуда $BO=6\cdot \frac{4}{3}=8\text{.}$

По теореме Пифагора сторона ромба равна

$$BC=\sqrt{B{O}^2+O{C}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10.$$

Центр вписанной в ромб окружности — точка $O$ (она равноудалена от всех сторон), значит радиус $r$ равен расстоянию от $O$ до стороны $BC\text{,}$ то есть высоте $OH$ прямоугольного треугольника $BOC\text{,}$ проведённой к гипотенузе:

$$r=OH=\frac{BO\cdot OC}{BC}=\frac{8\cdot 6}{10}=4,8.$$

Ответ: $4,8\text{.}$