Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg BCA=(4)/(3). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. !Ромб ABCD с вписанной окружностью и проведённой диагональю AC

Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому OC=(AC)/(2)=6, а треугольник BOC — прямоугольный с прямым углом при вершине O. Из прямоугольного треугольника BOC: tg BCA=(BO)/(OC)=(4)/(3), откуда BO=6*(4)/(3)=8. По теореме Пифагора сторона ромба равна BC=sqrt(BO^2+OC^2)=sqrt(8^2+6^2)=10. Центр вписанной в ромб окружности — точка O (она равноудалена от всех сторон), значит радиус r равен расстоянию от O до стороны BC, то есть высоте OH прямоугольного треугольника BOC, проведённой к гипотенузе: r=OH=(BO* OC)/(BC)=(8* 6)/(10)=4,8. Ответ: 4,8.

4,8