Задача №20224

Постройте график функции

$y=2|x-5|-x^2+11x-30\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль. Функция $y=2|x-5|-x^2+11x-30$ распадается на две параболы.

При $x\ge 5\text{:}$ $|x-5|=x-5\text{,}$ тогда

$$y=2(x-5)-x^2+11x-30=-x^2+13x-40=-(x-5)(x-8).$$

Это парабола ветвями вниз с вершиной в $x=\frac{13}{2}=6,5\text{,}$ $y=-6,5^2+13\cdot 6,5-40=2,25\text{,}$ то есть вершина $(6,5;2,25)\text{;}$ проходит через $(5;0)$ и $(8;0)\text{.}$

При $x<5\text{:}$ $|x-5|=5-x\text{,}$ тогда

$$y=2(5-x)-x^2+11x-30=-x^2+9x-20=-(x-4)(x-5).$$

Парабола ветвями вниз с вершиной в $x=4,5\text{,}$ $y=-4,5^2+9\cdot 4,5-20=0,25\text{,}$ вершина $(4,5;0,25)\text{;}$ проходит через $(4;0)$ и стремится к $(5;0)\text{.}$

Форма графика. Слева ветвь поднимается из $-\infty$ до локального максимума $0,25$ при $x=4,5\text{,}$ опускается до $0$ в точке стыка $x=5\text{,}$ затем поднимается до максимума $2,25$ при $x=6,5$ и уходит в $-\infty \text{.}$ Обе части сходятся в точке $(5;0)\text{,}$ график непрерывен.

Пересечение с прямой $y=m\text{.}$ Считаем число общих точек по высоте $m\text{:}$

• $m>2,25$ — $0$ точек;
• $m=2,25$ — $1$ точка (касание правой вершины);
• $0,25<m<2,25$ — $2$ точки (обе на правой ветви);
• $m=0,25$ — $3$ точки: касание левой вершины $(4,5;0,25)$ плюс две точки на правой ветви ($x^2-13x+40,25=0\text{,}$ $D=8\text{,}$ корни $6,5\pm \sqrt{2}\approx 5,09$ и $7,91$);
• $0<m<0,25$ — $4$ точки;
• $m=0$ — $3$ точки: $x=4\text{,}$ $x=5$ (стык) и $x=8\text{;}$
• $m<0$ — $2$ точки.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m=0,25\text{.}$

Ответ: $m=0$ или $m=0,25\text{.}$