Задача №20218

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 35 от вершины $A\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB\text{,}$ если $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{35}}{6}\text{.}$

Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $K\text{,}$ а центр окружности — $O\text{,}$ радиус — $R\text{.}$

Шаг 1. Касательная и секущая из точки $A\text{.}$
Прямая $AC$ — секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N\text{,}$ а $AK$ — касательная. По теореме о касательной и секущей:

Шаг 2. Перпендикуляр из центра к хорде $MN\text{.}$
Пусть $P$ — основание перпендикуляра из $O$ на прямую $AC\text{.}$ Так как $OM=ON=R\text{,}$ точка $P$ — середина хорды $MN\text{.}$ Поэтому

Из прямоугольного треугольника $OPM$ ($\angle OPM=90^{\circ }$):

Шаг 3. Значения тригонометрических функций угла $A\text{.}$
Дано $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{35}}{6}\text{,}$ тогда

Шаг 4. Проекция отрезка $KO$ на сторону $AC$ и на перпендикуляр к ней.
Опустим из $K$ перпендикуляр на прямую $AC\text{,}$ основание — $H\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AKH\text{:}$

Точки $K$ и $O$ лежат по разные стороны от прямой $AC$ (касание луча $AB$ и центр). Спроецируем $K$ и $O$ на прямую $AC\text{:}$ проекции — $H$ и $P\text{,}$ значит смещение вдоль $AC$ равно

Смещение поперёк $AC$ (от $K$ над прямой до $O$ под ней) равно $KH+OP\text{.}$

Шаг 5. Условие $OK\perp AB\text{.}$
Радиус $OK$ перпендикулярен касательной $AB\text{.}$ Прямая $AB$ образует с $AC$ угол $A\text{,}$ поэтому $OK$ образует угол $A$ с перпендикуляром к $AC\text{.}$ Отношение проекции $OK$ вдоль $AC$ к проекции поперёк $AC$ равно $\tan A\text{:}$

Отсюда

Шаг 6. Радиус.
Подставим $O{P}^2=(4\sqrt{35}{)}^2=560$ в $(1)\text{:}$

(Второе решение уравнения на положение центра даёт точку касания на продолжении луча $AB$ за вершину $A\text{,}$ что не удовлетворяет условию «касается луча $AB$», и отбрасывается.)

Ответ: $27\text{.}$