Задача №20212

Постройте график функции

$$y=\frac{(x^2+0,25)(x+1)}{-1-x}.$$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упрощаем функцию.

Заметим, что знаменатель $-1-x=-(x+1)\text{.}$ Поэтому при $x\ne -1\text{:}$

$$y=\frac{(x^2+0,25)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+0,25)=-x^2-0,25.$$

Значит, графиком служит парабола $y=-x^2-0,25$ с ветвями вниз и вершиной $(0;-0,25)\text{,}$ но точка с абсциссой $x=-1$ выколота. При $x=-1$ было бы $y=-(-1{)}^2-0,25=-1,25\text{,}$ поэтому выколота точка $(-1;-1,25)\text{.}$

2. Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$

Прямая $y=kx$ проходит через начало координат. Приравниваем:

$$kx=-x^2-0,25⟹x^2+kx+0,25=0.$$

Дискриминант: $D=k^2-4\cdot 0,25=k^2-1\text{.}$

3. Разбор случаев (не забываем про выколотую точку).

Проверим, когда корнем является выколотое $x=-1\text{:}$ подставим $x=-1$ в уравнение: $1-k+0,25=0\Rightarrow k=1,25\text{.}$

• $D<0$ ($|k|<1$): корней нет — общих точек нет.
• $D=0$ ($k=\pm 1$): один корень (касание).
  • при $k=1\text{:}$ $x=-0,5$ — точка существует (не выколота), ровно 1 общая точка;
  • при $k=-1\text{:}$ $x=0,5$ — точка существует, ровно 1 общая точка.
• $D>0$ ($|k|>1$): два корня. По теореме Виета их произведение равно $0,25\text{.}$
  • при $k=1,25$ один из корней равен $x=-1$ (выколот), второй равен $0,25/(-1)=-0,25$ — он существует, значит остаётся ровно 1 общая точка;
  • при остальных $|k|>1$ оба корня отличны от $-1$ — получаем 2 общие точки.

4. Итог. Ровно одну общую точку прямая $y=kx$ имеет при $k=-1\text{,}$ $k=1$ и $k=1,25\text{.}$

Ответ: $k=-1\text{;}$ $k=1\text{;}$ $k=1,25\text{.}$