Задача №20115

Постройте график функции

$y=|x^2-9|\text{.}$

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Построение графика.

Раскроем модуль. Выражение $x^2-9$ неотрицательно при $|x|\ge 3$ и отрицательно при $|x|<3\text{,}$ поэтому

$$y=|x^2-9|=\{\begin{array}{ll}{x}^2-9,& x\le -3\text{или}x\ge 3,\\ 9-x^2,& -3<x<3.\end{array}$$

График получается из параболы $y=x^2-9$ (вершина $(0;-9)\text{,}$ нули $x=\pm 3$) отражением её части, лежащей ниже оси абсцисс, вверх относительно оси $Ox\text{.}$ Получаем «W-образную» линию:

• на промежутке $-3<x<3$ — «купол» $y=9-x^2$ с максимумом в точке $(0;9)\text{,}$ спускающийся до нулей в точках $(\pm 3;0)\text{;}$
• при $x\le -3$ и $x\ge 3$ — две восходящие ветви параболы $y=x^2-9\text{,}$ выходящие из точек $(\pm 3;0)$ вверх.

Пересечение с прямой $y=c$ (параллельной оси абсцисс).

Подсчитаем число общих точек в зависимости от высоты $c\text{:}$

• $c<0$ — прямая проходит ниже всего графика: $0$ точек;
• $c=0$ — прямая касается графика в двух «донышках»: $2$ точки ($x=\pm 3$);
• $0<c<9$ — «купол» даёт $2$ точки (уравнение $9-x^2=c$ имеет два корня в $(-3;3)$), а две боковые ветви — ещё $2$ точки ($x=\pm \sqrt{9+c}$): всего $4$ точки;
• $c=9$ — купол даёт одну точку $(0;9)\text{,}$ боковые ветви — две точки $x=\pm \sqrt{18}\text{:}$ всего $3$ точки;
• $c>9$ — купол уже ниже прямой, остаются только боковые ветви: $2$ точки.

Наибольшее число общих точек достигается при $0<c<9$ и равно $4\text{.}$

Ответ: $4\text{.}$