Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
Постройте график функции y=x2−7x−5∣x−3∣+12 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Раскроем модуль, разбив область определения точкой x=3.
1) При x≥3: ∣x−3∣=x−3, поэтому
y=x2−7x−5(x−3)+12=x2−12x+27.Это парабола ветвями вверх с вершиной x=212=6, y(6)=36−72+27=−9, то есть вершина (6;−9). В точке стыка y(3)=9−36+27=0.
2) При x<3: ∣x−3∣=3−x, поэтому
y=x2−7x−5(3−x)+12=x2−2x−3.Это парабола ветвями вверх с вершиной x=1, y(1)=1−2−3=−4, то есть вершина (1;−4). В точке стыка y(3)=9−6−3=0 — график непрерывен.
Форма графика. Слева ветвь спускается к минимуму −4 при x=1, поднимается к локальному максимуму (3;0), затем правая ветвь опускается к минимуму −9 при x=6 и снова растёт. Получается «двугорбая» линия с локальным максимумом 0 и двумя минимумами: −4 (левый) и −9 (правый).
Подсчёт общих точек с прямой y=m. Число решений на каждой ветви:
| m | левая ветвь (x<3) | правая ветвь (x≥3) | всего |
|---|---|---|---|
| m<−9 | 0 | 0 | 0 |
| m=−9 | 0 | 1 | 1 |
| −9<m<−4 | 0 | 2 | 2 |
| m=−4 | 1 | 2 | 3 |
| −4<m<0 | 2 | 2 | 4 |
| m=0 | 1 | 2 | 3 |
| m>0 | 1 | 1 | 2 |
При m=−4 прямая касается левой вершины (1 точка) и пересекает правую ветвь в двух точках x=6±5 — итого 3 точки. При m=0 левая ветвь даёт x=−1, а правая — x=3 и x=9 — тоже 3 точки.
Таким образом, ровно три общие точки при m=−4 и при m=0.
Ответ: m=−4 или m=0.