Задача №20204

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=84\text{,}$ $AC=98\text{,}$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ Прямая $BD\text{,}$ перпендикулярная прямой $AO\text{,}$ пересекает сторону $AC$ в точке $D\text{.}$
Найдите $CD\text{.}$

Пусть $\angle A\text{,}$ $\angle B\text{,}$ $\angle C$ — углы треугольника $ABC\text{;}$ по условию $AB=84\text{,}$ $AC=98\text{.}$

Ключевая идея. Касательная к описанной окружности в точке $A$ перпендикулярна радиусу $OA\text{.}$ Прямая $BD$ по условию тоже перпендикулярна $AO\text{,}$ значит $BD$ параллельна касательной в точке $A\text{.}$

Угол между $BD$ и $AC\text{.}$ По теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной в точке $A$ и хордой $AC$ равен вписанному углу $\angle ABC=\angle B\text{,}$ опирающемуся на дугу $AC\text{.}$ Так как $BD\parallel$ касательной, то и угол между прямой $BD$ и стороной $AC$ равен $\angle B\text{,}$ то есть в треугольнике $ABD$

Треугольник $ABD\text{.}$ В нём $\angle BAD=\angle A$ (луч $AD$ идёт по стороне $AC$) и $\angle ADB=\angle B\text{,}$ поэтому третий угол

Значит треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\angle A$ — общий, $\angle ABD=\angle ACB=\angle C$). Из подобия

Вычисление.

Так как $AD=72<98=AC\text{,}$ точка $D$ лежит на стороне $AC\text{,}$ поэтому

Ответ: $CD=26\text{.}$