Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=14, BC=12.
Дано. Трапеция ABCD: боковая сторона AB⊥BC, основания BC=12 и AD=14 (они параллельны, поэтому AB⊥AD тоже). Окружность проходит через C и D и касается прямой AB в точке E. Ищем расстояние EP от E до прямой CD (P — основание перпендикуляра).
Расстояния концов хорды до прямой касания. Так как CB⊥AB, расстояние от C до прямой AB равно CB=12. Так как DA⊥AB, расстояние от D до прямой AB равно DA=14.
Углы касательной и хорды. По теореме об угле между касательной и хордой:
∠(AB,EC)=∠EDC,∠(AB,ED)=∠ECD.Два выражения для расстояний до AB. Пусть B и A — основания перпендикуляров из C и D на прямую AB. В прямоугольном треугольнике ECB (прямой угол при B) катет
CB=EC⋅sin∠(AB,EC)=EC⋅sin∠EDC.Аналогично в прямоугольном треугольнике EDA
DA=ED⋅sin∠(AB,ED)=ED⋅sin∠ECD.Перемножив:
CB⋅DA=EC⋅ED⋅sin∠EDC⋅sin∠ECD.(1)Два выражения для искомого расстояния. В прямоугольных треугольниках ECP и EDP (прямой угол при P):
EP=EC⋅sin∠ECD,EP=ED⋅sin∠EDC.Перемножив:
EP2=EC⋅ED⋅sin∠ECD⋅sin∠EDC.(2)Сравнение. Правые части (1) и (2) совпадают, поэтому
EP2=CB⋅DA=12⋅14=168, EP=168=242.Расстояние не зависит от высоты трапеции AB и от положения точки касания.
Ответ: 242.