Задача №20200

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $25^{\circ }$ и $67^{\circ }\text{.}$ Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Обозначим равнобедренную трапецию $ABCD\text{:}$ $AD$ — большее (нижнее) основание, $BC$ — меньшее, $AB$ и $CD$ — боковые стороны, $AB=CD\text{.}$ Диагональ $AC$ упирается концами в обе боковые стороны и образует с ними данные углы.

Более длинному основанию соответствуют острые углы трапеции, поэтому с боковой стороной у большего основания диагональ образует меньший угол: $\angle BAC=25^{\circ }\text{,}$ а у меньшего основания — больший: $\angle ACD=67^{\circ }\text{.}$

Пусть $\alpha =\angle A=\angle D$ — угол при большем основании, $\beta =\angle B=\angle C$ — угол при меньшем; $\alpha +\beta =180^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ACD\text{:}$ сумма углов даёт

$$\angle CAD=180^{\circ }-\angle ACD-\angle ADC=180^{\circ }-67^{\circ }-\alpha =113^{\circ }-\alpha .$$

С другой стороны, $\angle A=\angle BAC+\angle CAD\text{,}$ поэтому $\angle CAD=\alpha -25^{\circ }\text{.}$

Приравниваем:

$$113^{\circ }-\alpha =\alpha -25^{\circ }\Rightarrow 2\alpha =138^{\circ }\Rightarrow \alpha =69^{\circ }.$$

Проверка: $\angle CAD=44^{\circ }\text{,}$ тогда по параллельности $BC\parallel AD$ имеем $\angle BCA=\angle CAD=44^{\circ }\text{,}$ и $\angle C=\angle BCA+\angle ACD=44^{\circ }+67^{\circ }=111^{\circ }\text{,}$ а $\alpha +\beta =69^{\circ }+111^{\circ }=180^{\circ }$ — верно.

Ответ: $69\text{.}$