Задача №20196

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC\text{.}$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E\text{.}$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD\text{,}$ если $AD=20\text{,}$ $BC=15\text{.}$

Так как $AB\perp BC\text{,}$ а основания трапеции параллельны ($AD\parallel BC$), то прямая $AB$ перпендикулярна обоим основаниям. Точка $E$ лежит на прямой $AB\text{,}$ поэтому $EB\perp BC$ и $EA\perp AD\text{.}$

Расстояние от $E$ до оснований. Отсюда расстояние от $E$ до основания $BC$ равно $EB\text{,}$ а до основания $AD$ равно $EA\text{;}$ при этом треугольники $BEC$ и $AED$ прямоугольные (прямые углы при вершинах $B$ и $A$).

Углы между касательной и хордами. Прямая $AB$ — касательная к окружности в точке $E\text{,}$ а $EC$ и $ED$ — хорды. По теореме об угле между касательной и хордой:

Расстояние от $E$ до $CD\text{.}$ Пусть $EH$ — перпендикуляр из $E$ на прямую $CD\text{.}$ В треугольнике $ECD\text{:}$

откуда $E{H}^2=EC\cdot ED\cdot \sin \angle ECD\cdot \sin \angle EDC.$

Заменим углы по теореме о касательной и хорде и найдём синусы из прямоугольных треугольников:

Подставляя:

Значит $EH=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\text{.}$ Заметим, что ответ не зависит от высоты трапеции.

Ответ: $10\sqrt{3}\text{.}$