Задача №20194

Постройте график функции

$y=x|x|+|x|-5x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модули. Так как $x|x|+|x|-5x\text{,}$ рассмотрим два случая.

1) $x\ge 0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot x+x-5x=x^2-4x=(x-2{)}^2-4.$$

Это часть параболы ветвями вверх с вершиной $(2;-4)\text{;}$ при $x=0$ значение $y=0\text{.}$

2) $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=x(-x)+(-x)-5x=-x^2-6x=-(x+3{)}^2+9.$$

Это часть параболы ветвями вниз с вершиной $(-3;9)\text{;}$ при $x\to 0^{-}$ значение $y\to 0\text{.}$

В точке $x=0$ обе части дают $y=0\text{,}$ поэтому график непрерывен.

Поведение графика (слева направо). При $x\to -\infty$ имеем $y\to -\infty \text{;}$ функция возрастает до локального максимума $y=9$ в точке $x=-3\text{;}$ затем убывает до локального минимума $y=-4$ в точке $x=2\text{;}$ далее возрастает до $+\infty \text{.}$ То есть три участка монотонности:

• возрастание на $(-\infty ;-3]$ со значениями из $(-\infty ;9]\text{;}$
• убывание на $[-3;2]$ со значениями из $[-4;9]\text{;}$
• возрастание на $[2;+\infty )$ со значениями из $[-4;+\infty )\text{.}$

Число общих точек прямой $y=m$ с графиком равно числу участков, в область значений которых попадает $m\text{:}$

• $m>9\text{:}$ только третий участок $\Rightarrow$ 1 точка;
• $m=9\text{:}$ вершина $(-3;9)$ (одна точка) и третий участок (одна точка) $\Rightarrow$ 2 точки;
• $-4<m<9\text{:}$ все три участка $\Rightarrow$ 3 точки;
• $m=-4\text{:}$ первый участок (одна точка) и вершина $(2;-4)$ (одна точка) $\Rightarrow$ 2 точки;
• $m<-4\text{:}$ только первый участок $\Rightarrow$ 1 точка.

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет с графиком при $m=9$ (уровень локального максимума) и при $m=-4$ (уровень локального минимума).

Проверка. При $m=9\text{:}$ $-x^2-6x=9\Rightarrow (x+3{)}^2=0\Rightarrow x=-3\text{;}$ и $x^2-4x=9\Rightarrow x=2+\sqrt{13}$ (второй корень $2-\sqrt{13}<0$ не подходит правой части) — ровно 2 точки. При $m=-4\text{:}$ $x^2-4x=-4\Rightarrow (x-2{)}^2=0\Rightarrow x=2\text{;}$ и $-x^2-6x=-4\Rightarrow x=-3-\sqrt{13}$ (второй корень $-3+\sqrt{13}>0$ не подходит левой части) — ровно 2 точки. Сходится.

Ответ: $m=-4$ или $m=9\text{.}$