Задача №20192

Точка $H$ является основанием высоты $BH\text{,}$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK\text{,}$ если $BH=14\text{.}$

Окружность построена на отрезке $BH$ как на диаметре, поэтому любой её вписанный угол, опирающийся на $BH\text{,}$ прямой.

1. Точка $P$ лежит на окружности, значит угол $\angle BPH$ опирается на диаметр $BH$ и равен $90^{\circ }\text{.}$ Следовательно, $HP\perp AB\text{.}$
2. Точка $K$ лежит на окружности, значит угол $\angle BKH=90^{\circ }$ (опирается на диаметр). Следовательно, $HK\perp CB\text{.}$
3. Рассмотрим четырёхугольник $BPHK\text{.}$ В нём:

• $\angle PBK=\angle ABC=90^{\circ }$ (угол исходного прямоугольного треугольника при вершине $B$),
• $\angle BPH=90^{\circ }\text{,}$
• $\angle BKH=90^{\circ }\text{.}$

Три угла прямые, значит и четвёртый угол $\angle PHK=90^{\circ }\text{,}$ то есть $BPHK$ — прямоугольник.
4. В прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями $BPHK$ являются $BH$ и $PK\text{,}$ поэтому

Ответ: $PK=14\text{.}$