Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ
В треугольнике ABC известны длины сторон AB=36, AC=54, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D.
Найдите CD.
Пусть углы треугольника равны A=∠BAC, B=∠ABC, C=∠BCA.
Шаг 1. Угол между стороной и радиусом AO. Точка O — центр описанной окружности, поэтому OA=OB=R и треугольник AOB равнобедренный. Центральный угол ∠AOB опирается на дугу AB и вдвое больше вписанного угла C: ∠AOB=2C. Тогда
∠OAB=2180∘−∠AOB=2180∘−2C=90∘−C.Аналогично из равнобедренного треугольника AOC (OA=OC, ∠AOC=2B):
∠OAC=90∘−B.Шаг 2. Углы треугольника ABD. Прямая BD перпендикулярна AO; обозначим точку пересечения BD с прямой AO через P. В прямоугольном треугольнике APD (прямой угол при P) угол ∠PAD=∠OAC=90∘−B, поэтому
∠ADP=90∘−(90∘−B)=B.Точки B, P, D лежат на одной прямой, значит ∠ADB=∠ADP=B.
В прямоугольном треугольнике APB угол ∠PAB=∠OAB=90∘−C, поэтому
∠ABP=90∘−(90∘−C)=C,∠ABD=C.Шаг 3. Подобие. В треугольнике ABD: ∠BAD=A, ∠ADB=B, ∠ABD=C. Сопоставляя с треугольником ABC (углы A,B,C при вершинах A,B,C), получаем соответствие вершин A→A, D→B, B→C, то есть
△ADB∼△ABC.Отсюда ABAD=ACAB, значит
AD=ACAB2=54362=541296=24.Шаг 4. Искомый отрезок. Точка D лежит на стороне AC, поэтому
CD=AC−AD=54−24=30.Ответ: 30.