Задача №20186

Постройте график функции

$y=2|x-4|-x^2+9x-20\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Раскроем модуль. Точка излома $x=4\text{.}$

При $x\ge 4\text{:}$ $|x-4|=x-4\text{,}$ поэтому

$$y=2(x-4)-x^2+9x-20=-x^2+11x-28.$$

Это парабола ветвями вниз с вершиной $x=\frac{11}{2}=5,5\text{,}$ $y(5,5)=2,25\text{.}$ Нули: $x=4$ и $x=7\text{.}$

При $x<4\text{:}$ $|x-4|=4-x\text{,}$ поэтому

$$y=2(4-x)-x^2+9x-20=-x^2+7x-12.$$

Парабола ветвями вниз с вершиной $x=\frac{7}{2}=3,5\text{,}$ $y(3,5)=0,25\text{.}$ Нули: $x=3$ и $x=4\text{.}$

2. Форма графика. В точке $x=4$ обе части дают $y=0$ (график непрерывен). Слева поднимается к «горбу» высотой $0,25$ при $x=3,5$ и опускается к $0$ при $x=4\text{;}$ справа поднимается к «горбу» высотой $2,25$ при $x=5,5$ и опускается к $0$ при $x=7\text{.}$ В точке $x=4$ — локальный минимум $y=0$ между двумя горбами.

3. Подсчёт общих точек с прямой $y=m\text{:}$

• $m>2,25$ — $0$ точек;
• $m=2,25$ — $1$ точка (касание правого горба);
• $0,25<m<2,25$ — $2$ точки (только правый горб);
• $m=0,25$ — $3$ точки: касание левого горба ($1$) $+$ две точки на правом горбе ($2$);
• $0<m<0,25$ — $4$ точки (оба горба по $2$);
• $m=0$ — $3$ точки: $x=3,x=4,x=7\text{;}$
• $m<0$ — $2$ точки (левая и правая ветви уходят вниз).

Ровно три общие точки получаются при $m=0,25$ и при $m=0\text{.}$

Ответ: $m=0$ или $m=0,25\text{.}$