Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112∘ и 113∘.
Ключевая идея. Точка M равноудалена от всех вершин, значит все четыре вершины A, B, C, D лежат на одной окружности с центром M и радиусом R=MA=MB=MC=MD. Так как M — середина стороны AD, то MA=MD=R и точки A, M, D лежат на одной прямой, то есть AD=MA+MD=2R — диаметр этой окружности.
Прямые углы при B и C. Отрезок AD — диаметр, поэтому вписанные углы, опирающиеся на него, прямые:
∠ABD=90∘,∠ACD=90∘.Отсюда
∠DBC=∠ABC−∠ABD=112∘−90∘=22∘, ∠BCA=∠BCD−∠ACD=113∘−90∘=23∘.Угол, опирающийся на BC. Углы ∠CBD и ∠CAD опираются на одну дугу CD, поэтому ∠CAD=∠CBD=22∘. Тогда
∠BAC=∠BAD−∠CAD=67∘−22∘=45∘,где ∠BAD=180∘−∠BCD=180∘−113∘=67∘ как сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника.
Теорема синусов для хорды BC. Вписанный угол ∠BAC=45∘ опирается на хорду BC, а диаметр окружности равен AD:
sin∠BACBC=2R=AD.Поэтому
AD=sin45∘BC=2210=220=102.Проверка. С другой стороны, ∠ADB=∠ACB=23∘ (опираются на дугу AB), поэтому ∠BDC=∠ADC−∠ADB=68∘−23∘=45∘ — тот же угол опирается на BC, что подтверждает результат.
Ответ: AD=102≈14,14.