Задача №20175

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC\text{.}$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма $ABCD\text{.}$

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, поэтому она равноудалена от всех сторон этого треугольника, и это расстояние равно радиусу $r\text{.}$

Радиус вписанной окружности. Расстояние от $O$ до прямой $AC$ (а $AC$ — сторона треугольника) равно радиусу:

Значит, и расстояние от $O$ до стороны $BC$ тоже равно $r=5\text{.}$

Высота параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC\text{,}$ то есть между прямыми $BC$ и $AD$ (вершина $A$ лежит на прямой $AD$). Поэтому расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ равно сумме расстояний от $O$ до каждой из них:

Это и есть высота параллелограмма, опущенная на сторону $BC$ (или $AD$). Значит,

Длина касательного отрезка из $A\text{.}$ Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $E\text{.}$ Тогда $OF\perp AB\text{,}$ $OE\perp AC\text{,}$ $OF=OE=r=5\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $AEO\text{:}$

По свойству касательных длина касательного отрезка из вершины $A$ равна $s-a\text{,}$ где $s$ — полупериметр треугольника $ABC\text{,}$ а $a=BC\text{.}$ Значит,

Связываем площади. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: $S_{ABC}=r\cdot s=5s\text{.}$ Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника $ABC$ и $ACD\text{,}$ поэтому

С другой стороны, $S_{ABCD}=12\cdot a\text{.}$ Приравнивая,

Подставляя $s=a+12\text{:}$

Ответ. $S_{ABCD}=12\cdot a=12\cdot 60=720.$

Ответ: $720\text{.}$