Задача №20174

Углы при одном из оснований трапеции равны $39^{\circ }$ и $51^{\circ }\text{,}$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3. Найдите основания трапеции.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $BC=b$ и $AD=a$ ($a>b$), а углы при основании $AD$ равны $\angle A=39^{\circ }$ и $\angle D=51^{\circ }\text{.}$

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — это средняя линия трапеции. Она равна полусумме оснований:

2. Отрезок $MN\text{,}$ соединяющий середину $M$ основания $BC$ и середину $N$ основания $AD\text{.}$ Так как $\angle A+\angle D=39^{\circ }+51^{\circ }=90^{\circ }\text{,}$ продолжения боковых сторон $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом ($\angle P=90^{\circ }$).

В прямоугольном треугольнике $APD$ медиана $PN$ к гипотенузе $AD$ равна её половине: $PN=\frac{a}{2}\text{.}$ Треугольник $PBC$ подобен $APD$ (так как $BC\parallel AD$), и его прямой угол тоже при $P\text{;}$ медиана $PM$ к гипотенузе $BC$ равна $\frac{b}{2}\text{.}$ Точки $P\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ лежат на одной прямой (медиана из общей вершины $P$ к параллельным основаниям), поэтому

Составляем систему. Полусумма всегда больше полуразности, значит средняя линия равна $19\text{,}$ а отрезок $MN=3\text{:}$

Отсюда $a+b=38\text{,}$ $a-b=6\text{,}$ следовательно

Проверка. Полусумма: $\frac{22+16}{2}=19$ — верно. Полуразность: $\frac{22-16}{2}=3$ — верно.

Ответ: основания трапеции равны $16$ и $22\text{.}$