Задача №20169

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

2) Смежные углы всегда равны.

3) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Проверяем каждое утверждение.

1. «Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.» — Ложно. Диагональ трапеции $ABCD$ (с основаниями $BC$ и $AD$) образует треугольники $ABC$ и $ACD$ с общей диагональю $AC\text{.}$ У них равны накрест лежащие углы при параллельных основаниях, но стороны в общем случае разные ($BC\ne AD$), поэтому треугольники не равны (они лишь имеют одинаковую высоту, но разные основания).

2. «Смежные углы всегда равны.» — Ложно. Смежные углы в сумме дают $180^{\circ }\text{,}$ то есть $\alpha +\beta =180^{\circ }\text{.}$ Равны они лишь в частном случае $\alpha =\beta =90^{\circ }\text{,}$ а не всегда.

3. «Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.» — Истинно. У ромба все стороны равны: $a=a\text{.}$ Площадь параллелограмма (а ромб — частный случай) равна $S=a\cdot a\cdot \sin \alpha =a^2\sin \alpha \text{,}$ где $a$ — сторона, $\alpha$ — угол между смежными сторонами. Это и есть произведение двух смежных сторон на синус угла между ними.

Истинно только третье утверждение.

Ответ: 3.