Задача №20166

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC\text{.}$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E\text{.}$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD\text{,}$ если $AD=12\text{,}$ $BC=9\text{.}$

Расстояния от $C$ и $D$ до прямой $AB\text{.}$

По условию $AB\perp BC\text{,}$ а так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD\text{,}$ то $AD\parallel BC\text{,}$ значит $AB\perp AD\text{.}$ Поэтому:

• расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ равно $BC=9\text{;}$
• расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно $AD=12\text{.}$

Основная идея (угол между касательной и хордой).

Пусть $B$ и $A$ — основания перпендикуляров из $C$ и $D$ на прямую $AB$ (совпадают с вершинами $B$ и $A$), а $H$ — основание перпендикуляра из $E$ на прямую $CD\text{.}$ Тогда искомое расстояние $EH=d\text{.}$

Прямая $AB$ касается окружности в точке $E\text{,}$ поэтому угол между касательной $AB$ и хордой $EC$ равен вписанному углу $\angle EDC\text{,}$ опирающемуся на ту же хорду $EC\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $EBC$ ($\angle B=90^{\circ }$) этот угол при вершине $E$ даёт

В прямоугольном треугольнике $EHD$ ($\angle H=90^{\circ }$):

Отсюда

Аналогично угол между касательной $AB$ и хордой $ED$ равен вписанному углу $\angle ECD\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $EAD$ ($\angle A=90^{\circ }$):

а в прямоугольном треугольнике $EHC\text{:}$

Отсюда

Завершение.

Перемножим $(1)$ и $(2)\text{:}$

Следовательно,

Таким образом, расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ равно геометрическому среднему расстояний от $C$ и $D$ до касательной $AB$ и не зависит от высоты трапеции.

Ответ: $6\sqrt{3}\text{.}$