Задача №20159

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=39$ и $CD=6$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$ причём $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, на которые он опирается:

Вспомогательное построение. Через точку $D$ проведём прямую, параллельную диагонали $AC\text{;}$ пусть она вторично пересекает окружность в точке $P\text{.}$ Параллельные хорды $DP$ и $AC$ высекают равные дуги, поэтому $⌣AP=⌣CD\text{,}$ а значит и хорды равны: $AP=CD=6\text{.}$

Рассмотрим вписанный в ту же окружность треугольник $ABP\text{.}$ Его углы — вписанные:

• $\angle APB=\frac{1}{2}⌣AB$ (опирается на дугу $AB$);
• $\angle ABP=\frac{1}{2}⌣AP=\frac{1}{2}⌣CD$ (опирается на дугу $AP$).

Тогда угол при вершине $A\text{:}$

Находим сторону $BP$ по теореме косинусов в треугольнике $ABP$ ($AB=39\text{,}$ $AP=6\text{,}$ $\angle PAB=120^{\circ }$):

Находим радиус. Треугольник $ABP$ вписан в исходную окружность, поэтому по теореме синусов сторона $BP$ и её радиус связаны как $BP=2R\sin \angle PAB\text{:}$

Следовательно $R\sqrt{3}=\sqrt{1791}\text{,}$ откуда

Проверка. Обозначив $u=\frac{1}{2}⌣AB\text{,}$ $v=\frac{1}{2}⌣CD$ ($u+v=60^{\circ }$), имеем $2R\sin u=39\text{,}$ $2R\sin v=6\text{;}$ подстановка даёт $\frac{3\cdot 39^2+51^2}{12R^2}=1\text{,}$ то есть $R^2=597$ — совпадает.

Ответ: $R=\sqrt{597}\text{.}$