Задача №20156

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AF=24\text{,}$ $BF=10\text{.}$

У трапеции $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ — боковая сторона (секущая для параллельных прямых).

Шаг 1. Углы при боковой стороне. Углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние при параллельных основаниях $AD\parallel BC$ и секущей $AB\text{,}$ поэтому их сумма равна развёрнутому углу:

Шаг 2. Половины углов. $AF$ и $BF$ — биссектрисы, значит $\angle FAB=\frac{1}{2}\angle A$ и $\angle FBA=\frac{1}{2}\angle B\text{.}$ Тогда в треугольнике $ABF\text{:}$

Шаг 3. Прямой угол при $F\text{.}$ Сумма углов треугольника $ABF$ равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому

Значит, треугольник $ABF$ прямоугольный с гипотенузой $AB\text{.}$

Шаг 4. Теорема Пифагора.

Ответ: $26\text{.}$