Задача №20147

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AH=5\text{,}$ $AC=20\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ проведена высота $BH$ к гипотенузе $AC\text{.}$

Шаг 1. Метрическое соотношение для катета. Высота из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки $AH$ и $HC\text{,}$ причём каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежащим к нему отрезком:

Это следует из подобия треугольников $ABH$ и $ACB$ (у них общий острый угол $A\text{,}$ и оба прямоугольные: $\angle AHB=\angle ABC=90^{\circ }$), откуда $\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{AB}\text{.}$

Шаг 2. Подстановка.

Ответ: $AB=10\text{.}$