Задача №20144

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 32 и 24, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD\text{,}$ если $AB=7\text{.}$

Точка пересечения боковых сторон. Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ трапеции до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$ углы при вершинах $A$ и $D$ — это углы трапеции при основании $AD\text{,}$ их сумма равна $90^{\circ }\text{.}$ Значит

то есть прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Подобие. Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом

Отсюда $PB=\frac{3}{4}PA\text{,}$ и

Радиус окружности. Центр $O$ искомой окружности равноудалён от $A$ и $B\text{,}$ поэтому лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB\text{.}$ Отрезок $AB$ лежит на прямой $PA\text{,}$ значит этот серединный перпендикуляр перпендикулярен прямой $PA\text{.}$ Прямая $CD$ тоже перпендикулярна прямой $PA$ (угол $P$ прямой), поэтому серединный перпендикуляр к $AB$ параллелен прямой $CD\text{.}$

Расстояние между этими двумя параллельными прямыми равно расстоянию вдоль прямой $PA$ от точки $P$ (где её пересекает прямая $CD$) до середины $M$ отрезка $AB\text{:}$

Центр $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB\text{,}$ поэтому его расстояние до прямой $CD$ при любом положении на этой прямой одно и то же и равно $24,5\text{.}$ Окружность касается прямой $CD\text{,}$ значит это расстояние и есть радиус:

Проверка (степень точки). Прямая $PA$ — секущая окружности через точки $B$ и $A\text{,}$ прямая $CD$ — касательная из точки $P$ с точкой касания $T\text{.}$ Тогда $P{T}^2=PB\cdot PA=21\cdot 28=588\text{.}$ При этом $R^2=P{M}^2+P{T}^2-\dots$ — прямая проверка через прямоугольный треугольник $OMA$ даёт $R^2=O{M}^2+M{A}^2\text{,}$ где $OM=PT=\sqrt{588}\text{,}$ $MA=\frac{7}{2}=3,5\text{;}$ получаем $R^2=588+12,25=600,25=24,5^2\text{.}$ Согласуется.

Ответ: $R=24,5\text{.}$