Задача №18814

Постройте график функции

$y=\frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упрощаем формулу.

Область определения: $2-x\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 2\text{.}$

При $x\ne 2$ имеем $\frac{x-2}{2-x}=-1\text{,}$ поэтому

$$y=\frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}=-(x^2+1)=-x^2-1.$$

2. График.

Это парабола $y=-x^2-1$ с вершиной $(0;-1)\text{,}$ ветви вниз, из которой выколота точка с $x=2\text{,}$ то есть точка $(2;-5)\text{.}$

3. Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$

Приравниваем: $-x^2-1=kx\text{,}$ то есть

$$x^2+kx+1=0,x\ne 2.$$

Дискриминант $D=k^2-4\text{.}$

• Если $D<0$ (то есть $-2<k<2$) — общих точек нет.
• Если $D=0\text{,}$ то $k=\pm 2$ и корень один: $x=-\frac{k}{2}\text{.}$ При $k=2$ это $x=-1\text{,}$ при $k=-2$ это $x=1\text{;}$ оба корня отличны от $2\text{,}$ значит ровно одна общая точка. Подходит.
• Если $D>0$ (то есть $|k|>2$), корней два, и ровно одна общая точка получится только тогда, когда один из корней равен выколотому значению $x=2\text{.}$ Подставим $x=2\text{:}$ $4+2k+1=0\text{,}$ откуда $k=-2,5\text{.}$ По теореме Виета второй корень равен $\frac{1}{2}$ (так как произведение корней равно $1$), он допустим, значит общая точка ровно одна. Подходит.

При остальных $k$ с $|k|>2$ оба корня допустимы — две общие точки.

Ответ: $k=-2,5\text{;}$ $k=-2\text{;}$ $k=2\text{.}$