Постройте график функции y=((x^(2) +1)(x-2))/(2-x). Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упрощаем формулу. Область определения: 2-x!= 0, то есть x!= 2. При x!= 2 имеем (x-2)/(2-x)=-1, поэтому y=((x^(2)+1)(x-2))/(2-x)=-(x^(2)+1)=-x^(2)-1. График. Это парабола y=-x^(2)-1 с вершиной (0;-1), ветви вниз, из которой выколота точка с x=2, то есть точка (2;-5). Пересечение с прямой y=kx. Приравниваем: -x^(2)-1=kx, то есть x^(2)+kx+1=0, x!= 2. Дискриминант D=k^(2)-4. Если D<0 (то есть -2<k<2) — общих точек нет. Если D=0, то k=+- 2 и корень один: x=-(k)/(2). При k=2 это x=-1, при k=-2 это x=1; оба корня отличны от 2, значит ровно одна общая точка. Подходит. Если D>0 (то есть |k|>2), корней два, и ровно одна общая точка получится только тогда, когда один из корней равен выколотому значению x=2. Подставим x=2: 4+2k+1=0, откуда k=-2,5. По теореме Виета второй корень равен (1)/(2) (так как произведение корней равно 1), он допустим, значит общая точка ровно одна. Подходит. При остальных k с |k|>2 оба корня допустимы — две общие точки. Ответ: k=-2,5; k=-2; k=2.

-2,5; -2; 2