Задача №20140

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 28 и 35,
а основание $BC$ равно 7. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB\text{.}$ Найдите площадь трапеции.

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ($BC\parallel AD$), $AB=28\text{,}$ $CD=35\text{,}$ $BC=7\text{.}$ Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину $M$ стороны $AB\text{.}$

Шаг 1. Находим второе основание $AD\text{.}$

Продлим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $P$ (луч $CB$ за точку $B$).

Так как $AD\parallel BP\text{,}$ в треугольниках $AMD$ и $BMP\text{:}$

• $AM=MB$ (по условию $M$ — середина $AB$),
• $\angle AMD=\angle BMP$ (вертикальные),
• $\angle MAD=\angle MBP$ (накрест лежащие при $AD\parallel BP$).

Значит $△AMD=△BMP$ (по стороне и двум углам), откуда $BP=AD\text{.}$

Обозначим $\angle ADC=2\beta \text{,}$ тогда $\angle ADP=\beta$ (биссектриса). Так как $PC\parallel AD$ (точка $P$ на прямой $BC$), для секущей $DP$ накрест лежащие углы дают $\angle DPC=\angle ADP=\beta \text{.}$ А из биссектрисы $\angle PDC=\angle ADC-\angle ADP=2\beta -\beta =\beta \text{.}$

Следовательно, в треугольнике $DPC$ углы при вершинах $P$ и $D$ равны ($\angle DPC=\angle PDC=\beta$), то есть он равнобедренный: $CP=CD=35\text{.}$

Точка $B$ лежит между $C$ и $P\text{,}$ поэтому $CP=CB+BP=BC+AD\text{.}$ Значит $7+AD=35\text{,}$ откуда $AD=28\text{.}$

Шаг 2. Находим высоту.

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную $AB\text{,}$ до пересечения с основанием $AD$ в точке $E\text{.}$ Тогда $ABCE$ — параллелограмм, поэтому $CE=AB=28$ и $AE=BC=7\text{,}$ а $ED=AD-AE=28-7=21\text{.}$

В треугольнике $ECD\text{:}$ $CE=28\text{,}$ $ED=21\text{,}$ $CD=35\text{.}$ Проверяем: $21^2+28^2=441+784=1225=35^2\text{.}$ Значит треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $E\text{,}$ то есть $CE\perp AD\text{.}$

Поэтому $CE=28$ — высота трапеции: $h=28\text{.}$

Шаг 3. Площадь.

Ответ: $490\text{.}$