Задача №20135

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD\text{,}$ если $BC=3\text{,}$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $94^{\circ }$ и $131^{\circ }\text{.}$

Все вершины лежат на одной окружности. По условию точка $M$ равноудалена от вершин $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D\text{,}$ то есть $MA=MB=MC=MD\text{.}$ Значит, все четыре вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R=MA\text{.}$

$AD$ — диаметр. Точка $M$ — середина стороны $AD\text{,}$ поэтому $MA=MD=R$ и точки $A\text{,}$ $M\text{,}$ $D$ лежат на одной прямой. Следовательно, $AD$ проходит через центр $M\text{,}$ то есть $AD$ — диаметр, и $AD=2R\text{.}$

Разбиение полуокружности на дуги. Вершины четырёхугольника идут на окружности в порядке $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D\text{;}$ точки $B$ и $C$ лежат на одной из полуокружностей, стягиваемых диаметром $AD\text{.}$ Обозначим дуги (не содержащие других вершин): $⌣AB=2\alpha \text{,}$ $⌣BC=2\beta \text{,}$ $⌣CD=2\gamma \text{.}$ Так как эти три дуги в сумме дают полуокружность, то

Записываем данные углы как вписанные. Угол $B=\angle ABC$ опирается на дугу $AC\text{,}$ не содержащую $B$ (это дуга $A\to D\to C$ величиной $180^{\circ }+2\gamma$):

Угол $C=\angle BCD$ опирается на дугу $BD\text{,}$ не содержащую $C$ (это дуга $B\to A\to D$ величиной $2\alpha +180^{\circ }$):

Находим дугу $BC\text{.}$ Тогда $\beta =90^{\circ }-\alpha -\gamma =90^{\circ }-41^{\circ }-4^{\circ }=45^{\circ }\text{,}$ значит центральный угол на хорду $BC$ равен $⌣BC=2\beta =90^{\circ }\text{.}$

Считаем радиус по хорде $BC\text{.}$ Хорда стягивает центральный угол $90^{\circ }\text{,}$ поэтому

Из $BC=3$ получаем $R\sqrt{2}=3\text{,}$ то есть $R=\frac{3}{\sqrt{2}}\text{.}$

Ответ на вопрос. $AD=2R=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.$

Ответ: $AD=3\sqrt{2}\text{.}$