Задача №20133

Решите неравенство $x\le \frac{16}{x}$

Дано дробно-рациональное неравенство $x\le \frac{16}{x}\text{.}$

ОДЗ: $x\ne 0\text{.}$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

Нули числителя: $x=-4$ и $x=4$ (входят в ответ, так как неравенство нестрогое). Ноль знаменателя: $x=0$ (не входит).

Отмечаем точки $-4,0,4$ на прямой и расставляем знаки выражения $\frac{(x-4)(x+4)}{x}$ методом интервалов:

• при $x<-4$ (например $x=-5$): $\frac{(-9)(-1)}{-5}<0$ — подходит;
• при $-4<x<0$ (например $x=-1$): $\frac{(-5)(3)}{-1}>0$ — не подходит;
• при $0<x<4$ (например $x=1$): $\frac{(-3)(5)}{1}<0$ — подходит;
• при $x>4$ (например $x=5$): $\frac{(1)(9)}{5}>0$ — не подходит.

Берём промежутки, где выражение $\le 0\text{,}$ добавляя точки $-4$ и $4$ и исключая $0\text{:}$

Ответ: $x\in (-\infty ;-4]\cup (0;4]\text{.}$