Задача №19548

Постройте график функции

$y=\{\begin{array}{lll}\begin{array}{l}4x-5\\ -2,5x+5\\ x-9\end{array}& \begin{array}{l}\text{при}\\ \text{при}\\ \text{при}\end{array}& \begin{array}{l}x<1,\\ 1⩽x⩽4,\\ x>4.\end{array}\end{array}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика. График состоит из трёх кусков прямых.

1. $y=4x-5$ при $x<1$ — луч без концевой точки. При $x\to 1^{-}$ значение стремится к $4\cdot 1-5=-1\text{,}$ точка $(1;-1)$ выколота. Функция возрастает, поэтому на этом куске принимаются все значения $y\in (-\infty ;-1)\text{,}$ причём каждое ровно один раз.

2. $y=-2,5x+5$ при $1⩽x⩽4$ — отрезок с концами $(1;2,5)$ и $(4;-5)$ (обе точки принадлежат графику). Функция убывает, значит принимает каждое значение $y\in [-5;2,5]$ ровно один раз.

3. $y=x-9$ при $x>4$ — луч; при $x\to 4^{+}$ значение стремится к $4-9=-5\text{,}$ точка $(4;-5)$ выколота. Функция возрастает, значит принимает каждое значение $y\in (-5;+\infty )$ ровно один раз.

Подсчёт общих точек прямой $y=m$ с графиком. Число точек равно сумме числа решений на каждом куске:

• $m<-5\text{:}$ только первый кусок $\Rightarrow$ 1 точка;
• $m=-5\text{:}$ первый кусок ($x=0$) и второй кусок ($x=4$), третий не даёт (точка выколота) $\Rightarrow$ 2 точки;
• $-5<m<-1\text{:}$ все три куска $\Rightarrow$ 3 точки;
• $m=-1\text{:}$ первый кусок дал бы $x=1\text{,}$ но точка выколота; остаются второй ($x=2,4$) и третий ($x=8$) $\Rightarrow$ 2 точки;
• $-1<m⩽2,5\text{:}$ второй и третий куски $\Rightarrow$ 2 точки;
• $m>2,5\text{:}$ только третий кусок $\Rightarrow$ 1 точка.

Ровно две общие точки получаются при $m=-5$ и при $-1⩽m⩽2,5\text{.}$

Ответ: $m=-5\text{;}$ $-1⩽m⩽2,5\text{.}$