Задача №20125

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC\text{.}$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма $ABCD\text{.}$

Дано: параллелограмм $ABCD\text{,}$ диагональ $AC\text{;}$ $O$ — центр вписанной в $△ABC$ окружности; $OA=25\text{,}$ расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно $15\text{,}$ до прямой $AC$ равно $7\text{.}$

1. Радиус вписанной окружности. Прямая $AC$ содержит сторону $△ABC\text{,}$ поэтому расстояние от инцентра $O$ до неё — это радиус $r=7\text{.}$

2. Половина угла $A\text{.}$ Центр $O$ лежит на биссектрисе угла $BAC\text{,}$ значит угол $OAC=\frac{1}{2}\angle BAC=\alpha \text{.}$ Перпендикуляр из $O$ на $AC$ даёт $\sin \alpha =\frac{r}{OA}=\frac{7}{25}\text{,}$ откуда $\cos \alpha =\frac{24}{25}\text{.}$

Тогда для угла $A=\angle BAC\text{:}$

3. Угол между $AO$ и $AD\text{.}$ Диагональ $AC$ лежит внутри угла $DAB\text{,}$ а луч $AO$ — между $AB$ и $AC\text{.}$ Поэтому $\angle DAO=\angle DAC+\alpha \text{.}$ Из перпендикуляра на $AD\text{:}$

4. Угол $C$ треугольника. Так как $AD\parallel BC\text{,}$ а $AC$ — секущая, накрест лежащие углы равны: $\angle DAC=\angle ACB=C\text{.}$ Значит

5. Длина $AC$ через касательные. Касательная из вершины к вписанной окружности равна $\sqrt{O{A}^2-r^2}\text{:}$

Для вершины $C\text{:}$ $\tan \frac{C}{2}=\frac{\sin C}{1+\cos C}=\frac{44/125}{242/125}=\frac{2}{11}\text{,}$ поэтому касательная из $C$ равна $\frac{r}{\tan (C/2)}=\frac{7}{2/11}=\frac{77}{2}(=s-c)\text{.}$

Обе касательные лежат на стороне $AC\text{,}$ значит

6. Площадь треугольника (по стороне и двум прилежащим углам).

Проверка ($S=rs$). Касательная из $B\text{:}$ $s-b=\frac{r}{\tan (B/2)}=3,5\text{;}$ тогда $s=(s-a)+(s-b)+(s-c)=24+3,5+38,5=66\text{,}$ и $S=rs=7\cdot 66=462\text{.}$ Совпадает.

7. Площадь параллелограмма. Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому

Ответ: $924\text{.}$